A „Meet the Scientist” rendezvénysorozat egyik állomása a zuglói Neumann János Informatikai Szakközépiskola volt. A meghívott vendég stílszerűen a matematika világából érkezett. Pintz János akadémikus előadásában elsősorban az ikerprímszámokkal (azok a prímszámok, amelyek között a különbség mindössze 2) összefüggő kutatási eredményekkel foglalkozott. Vele beszélgettük a rendhagyó matematika óra végén.
– Ön hosszú éveket töltött az amerikai New Jersey és Utah államokban, de számos európai egyetemen is tartott előadásokat. Lát-e valamiféle különbséget a magyar fiatalok aktivitása és kérdésfeltevése, valamint az amerikai diákok hozzáállása között?
– Az Egyesült Államokban kutató státusban voltam, tanárként egyetemistákkal foglalkoztam. Most viszont magyar középiskolásoknak tartottam előadást. Általánosságban nézve a különbséget: a magyar, illetve a külföldi tehetséggondozást tekintve az az eltérés, hogy a magyaroknál nagyon nagy hagyománya van a matematikai versenyeknek. Európában talán elsőként, az 1890-es években indultak el a kifejezetten középiskolásokat célzó versenyek. A ma is létező Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok (KÖMAL) első számai is a századforduló előtt láttak napvilágot. Nemcsak a versenyek, hanem az azokra való felkészítés is jó alapot biztosít a folytatáshoz, az egyetemen zajló hasonló megmérettetésekre. Nem mondhatjuk, hogy a magyar matematika jobb, mint a világon bárhol, hiszen óriási tudományos háttere van e tudományágnak ma az Egyesült Államokban, régebben a Szovjetunióban is volt, de egyes nyugat-európai országokban úgyszintén jelentős a bázisa. Érdemes azonban megemlíteni, hogy az egyetemek közti matematika-versenyeken az utóbbi 3-4 évben háromszor nyert — hatvan egyetem közül — az ELTE matematikus csapata, mögöttük a dobogós helyeken olyan egyetemek diákjai végeztek, mint a világhíres moszkvai Lomonoszov Egyetem, vagy a Princeton Egyetem, bár egy alkalommal a Teheráni Egyetem is keltett nagy meglepetést. A legkellemesebb meglepetés azonban az ELTE folyamatos remeklése. Ez azt mutatja, hogy a matematika terén nincs különösebb gond az itteni tehetséggondozással és a fejlődéssel. Vezető hatalom ettől nem leszünk egy tudományterületen sem világviszonylatban, mert ehhez sem a lélekszámunk, sem anyagi lehetőségeink nem adottak.
– Említette a teherániak megjelenését a legjobbak között. A perzsa matematika az ókorban is nagyon jó volt, mostanában az indiaiak is visszatérnek hagyományosan előkelő pozícióikba e téren. Ők azonban egyre nagyobb hangsúlyt fektetnek az informatikai megközelítésre. Bízhatunk-e abban, hogy Magyarország az itt megszerzett élvonalbeli helyzetét meg tudja őrizni a jövőben is?
– Remélem, és minden jel erre mutat. Előadásomban is említettem, hogy Szemerédi Endre (Pintz János szerzőtársa a Heilbronn-sejtés cáfolatában — a szerk) 2012-ben az Ábel-díjat, amely a Nobel-díjjal egyenértékűnek nevezhető, a 70-es években, még Magyarországon végzett kutatásaiért kapta. Ilyen szintű elismerésben magyar tudós itthoni kutatásaiért Szent-Györgyi Albert 76 éve megkapott Nobel-díja óta nem részesült.
– Szemerédi professzor nemrég azt nyilatkozta, hogy távolról sem otthonos a matematika minden ágában. Talán az utolsó polihisztornak nevezhető matematikusunk az éppen 100 éve született Erdős Pál volt. Ennyire behatárolódik egy matematikus, és ennyire specifikálódnia kell?
– A matematika rohamos fejlődésének következtében tény, hogy a mai matematikusok között alig van olyan, aki akár az egytizedét át tudná tekinteni a teljes matematikának. Ez ellentétben van mondjuk a száz évvel ezelőtt működött Hilbert, vagy Neumann János helyzetével, akkoriban a legnagyobb matematikusoknak még körülbelül az egész matematika egynegyedéről voltak biztos ismereteik. A XVIII. században Euler a matematika nagyobb részét ismerte. Ez az arány időben felénk közeledve egyre csökken. Ugyanakkor ebben persze közrejátszik az is, hogy hány matematikai szakcikk jelenik meg manapság évente, és mennyi jelent meg ötven, száz vagy kétszáz évvel ezelőtt. A cikkek száma (valószínűleg más tudományágakhoz hasonlóan) rendkívül gyorsan növekszik, így véleményem szerint a specializálódás egyre növekvő mértékén sem csodálkozni, sem változtatni nem lehet.
– Erdősnek több mint másfél ezer publikációja jelent meg életében. Ugyanakkor elengedhetetlen a maiak számára, hogy egyfelől legyenek biztos alapismereteik, másfelől ostromolják a csúcsokat, ahol a sejtések és a problémafelvetések állnak, amelyekért adott esetben komoly pénzösszegeket is el lehet nyerni. Van-e arra módszer, hogy miként lehet erre a problémaérzékenységre nevelni a mai fiatalokat?
– A matematikai fejlődés, illetve nevelés előtt — elsősorban is a doktori tanulmányok időszakában— két fő stratégia nyílik. Az egyik — ami Magyarországon a már említett középiskolai, egyetemi versenyek folyományaként nem meglepő — inkább arra koncentrál, hogy olyan problémákat adjon a fiatal kutatóknak, amelyeket maguk meg tudnak oldani, minél előbb, akár már egyetemista korukban is. A másik irányzat, amely sok más országban és egyetemen elterjedtebb, mint nálunk, azt mondja, hogy a fiatalok próbáljanak minél többet tanulni, és utána ennek a tudásnak a birtokában próbálják a problémákat megoldani. Az első irányzat egyik váll-faja lehetne, hogy próbáljuk a fiatalokat arra nevelni, hogy ne csak a problémák megoldásában jeleskedjenek, hanem igyekezzenek maguk is új problémákat felvetni, sejtéseket megfogalmazni. Ennek azért akadnak nehézségei. Egy jó problémát megfogalmazni, amely elég nehéz ahhoz, hogy megoldás esetén elismerést és sikert váltson ki (például fokozatot lehessen vele elérni), és nem olyan nehéz, hogy csak gondolkodjanak rajta anélkül, hogy bármi eredmény kijönne, egyáltalán nem könnyű. Azt gondolom, hogy szinte ez a legnehezebb. Nem véletlen, hogy amikor évtizedekkel ezelőtt kezembe került a kibernetika és számítástechnika megalapozásánál is jeleskedő híres matematikus, Norbert Wiener egyik önéletrajzi vonatkozású könyve, azt olvastam benne a XX. század eleji amerikai matematikáról, hogy a professzorok „féltve őrzik a problémáikat”, hogy a saját doktoranduszaiknak tudják feladni azokat. Ilyen szempontból Erdős Pál egy unikum volt, ő „szórta a világba” a problémákat. Persze a nevét az is megalapozta, hogy sok problémára maga tudta megadni a választ. Igazából, bár nem volt kifejezetten elméletalkotó, de a sok, általa megfogalmazott és/vagy megoldott probléma és a megoldások módszerei később elméletté is összeálltak. Ha arra akarnám a fiatalokat ösztönözni, hogy fogalmazzanak meg problémákat, melyek a matematika egésze szempontjából fontosak, és amit ők maguk meg is tudnak oldani, akkor a legnehezebb utat választottam. Az ilyen irányú képesség függ az illető kutatók természetétől, a matematikai habitusuktól, attól, hogy valaki mennyire erős a problémafelvetésben, a sejtések megfogalmazásában. Természetesen ugyanez igaz a probléma-megoldási képességekre is, vagy az elméletalkotási készségekre is.
– Erdős Pál maga is tűzött ki díjakat egyes problémái megoldásának ösztönzésére. Ezek mindig a feladat nagyságával arányos összegek voltak. Az ön előadásában említett nagy Fermat-sejtéssel, vagy a Goldbach problémával kapcsolatban szóba kerültek elég komoly pénzösszegek is. A prímszámok kutatása kapcsán van-e olyan nagy pénz „az ablakban”, amiért érdemes volna valakinek nagy erőket mozgósítania?
– Az ikerprímekre vonatkozóan ugyan nincsen, de az egész matematika egyik leghíresebb problémája, a Riemann-sejtés megfogalmazható úgy, hogy a prímszámok nagyon szabályosan viselkednek a következő szempontból: olyan közelítő formula adható a prímek számára, aminek a hibája meglehetősen kicsi., nevezetesen egy nagy határig meg lehet mondani a prímek számát annak a nagy x számnak a négyzetgyökével arányos hibával. Ez tulajdonképpen a Riemann-sejtés egy úgy nevezett elemi megfogalmazása. Eredetileg a sejtés egy komplex függvények elméletével kapcsolatos problémára vonatkozik. Az említett, prímszámok eloszlására vonatkozó megfogalmazás teljességgel ekvivalens az eredetivel, vagyis ha az eredeti sejtést megoldjuk, akkor egyúttal abból ez könnyen levezethető, azaz, hogy egy bizonyos határig terjedő prímek számára egy nagy pontosságú formula adható, és ugyanez igaz a fordított irányban is. 2000-ben a Clay-intézet, melyet egy Landon Clay nevű, matematika iránt érdeklődő gazdag üzletember alapított és támogat, hét, úgynevezett „millenniumi problémára” ajánlott fel egy-egy millió dollárt. El kell mondjam, hogy nem ezért foglalkoznak a matematikusok egy-egy problémával. A Riemann-sejtés egyike a hét problémának. Olyan nehézségű problémák ezek, hogy csupán a pénz miatt nem állnának rá kutatók a megoldás reményében. Ugyanakkor ezek a problémák olyan híresek, hogy ha valaki úgy érezte, volna ezek valamelyikéhez ötlete, tehetsége, már valószínűleg a díj kitűzése előtt is gondolkodott rajtuk. Egy matematikus blogján olvastam a vicces tanácsot, hogy „a Riemann-sejtés megoldása helyett érdemesebb bankot rabolni”, mivel akkor nagyobb eséllyel jutunk egymillió dollárhoz. A nagyobb mozgatóerő nem a pénz, hanem a problémák érdekessége, és a megoldásukkal járó dicsőség. Nem hiszem, hogy lett volna olyan matematikus, aki a hét probléma kihirdetése után szakterületet váltott volna azért, hogy egy ilyen nagy pénzdíjjal járó problémával foglalkozzék. A matematika fejlődését valószínűleg nem a pénzdíjak, hanem maguk a híres problémák fogják előrevinni. A megoldatlan problémák esetében nehéz megjósolni, mikor kerül sor a megoldásukra. Lehet, hogy akad olyan ma felvetett probléma, amelynek megoldására néhány száz, vagy akár ezer évet is várnia kell a matematikának.
– Egy kissé analitikai jellegű kérdés: születtek-e olyan frappáns megoldások vagy kérdésfelvetések akár a prímszámok sűrűségével, akár egyes prímek felírhatóságával kapcsolatban, amelyek számottevő eredménynek tekinthetők az elmúlt években és gazdagították a matematikát?
– A „Meet the Scientist” program honlapjára majd felkerül egy nagyon híres nemrégiben megoldott, prímekre vonatkozó probléma, amelyet már kétszáz éve kezdtek el vizsgálni, végül nyolcvan éve fogalmazták meg először konkrétan. Az a lényege, hogy ha nézem a prímszámok sorozatát, akkor vannak-e benne minél hosszabb (precízen akármilyen véges hosszúságú) úgynevezett számtani sorozatok, azaz olyan részsorozatok, ahol bármely két szomszédos elemnek a különbsége azonos? Vagyis olyan prímekből álló sorozatok, amelyek egyenletes léptékben emelkednek. A számtani sorozatokat már gimnáziumban is tanítják, így fogalmazva: a k tagú számtani sorozat k darab olyan szám, ahol a szomszédosok közti különbség mindig ugyanaz. A kérdés tehát az, hogy tartalmaz-e a prímszámok sorozata bármely k egész számra k tagú számtani sorozatot. A huszadik század végéig csak azt sikerült bizonyítani, hogy a prímek sorozatában végtelen sok háromtagú számtani sorozat van (ezt már a 30-as években bizonyították), de azt, hogy végtelen sok négytagú sorozat létezik a prímszámok között, még nem volt ismeretes. Négy-öt tagú számtani sorozatot prímek között könnyen lehet még számítógép nélkül is találni (pl. 5, 11, 17, 23, 29). Számítógéppel mára 26 tagút is sikerült találni. Végül 2004-ben két fiatal matematikus, Ben Green és Terence Tao bebizonyították, hogy a prímszámok sorozatában akármilyen hosszúságú számtani sorozatot található. Eme felfedezéséért Tao 2006-ban elnyerte a Fields medált, amelyet a Nemzetközi Matematikai Kongresszus adományoz négyévente négy, negyven év alatti matematikusnak. Ez a díj a fiatalokra koncentrál, de a matematikában a negyven év alatti tudósok által elért eredmények igen tekintélyes részét teszik ki a matematika egészének. Hasonló ez ahhoz, hogy Heisenberg vagy Einstein már huszonévesen elérték a leghíresebb eredményeiket, amelyekért Nobel-díjat kaptak. Ez nem ritkaság a matematikában sem, például Green a probléma megoldásakor még harminc éves sem volt. Tao egy kicsivel idősebb volt, de csodagyerekként indult. 11 évesen a matematikai diákolimpián az ausztrál csapat tagjaként 3. díjat nyert, egy év múlva második lett, míg 13 évesen már első díjat, végül 14 évesen elkezdhette tanulmányait a Princeton-i egyetemen.
Forrás: Innoportal.hu
Szerző: Matykó Károly